Не много идей и рассуждений занимали мысли и внимание ученых-математиков и самоучек так долго, как Великая теорема Ферма. Эта теорема – самое известное математическое утверждение, на доказательство которого понадобилось больше 380 лет. Более того, в 1908 году ажиотаж вокруг нее был накален после обещания присудить премию за ее решение.
Вся сложность доказательства этой теоремы состояла в том, что нужно было доказать отсутствие решения. Казалось, что ее суть так легко понять, но как тяжело было ее решить!
Доказательство этой единой математической теоремы тесно связано с развитием истории математики, формированием новых направлений и углублением человеческого знания об абстракциях. О том, кто доказал теорему Ферма и сколько времени на это ушло, мы поговорим в этой статье.
Юрист Пьер де Ферма – «король среди любителей математики»
Пьер де Ферма (1601-1665) – французский судья и самоучка, известен как автор самой сложной теоремы всех времен. Свою карьеру и жизненный путь Ферма связал с юриспруденцией, и работал в местном парламенте маленького городка Кастр (до 1789 года «парламентом» во Франции называли суды).
Помимо блестящей карьеры в суде, Пьер также увлекался математикой, был самоучкой, черпая свои знания из книг и переписки со своими сверстниками, учеными и философами того времени – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бесси и другими. Несмотря на его статус любителя, профессиональные математики ценили переписку с Пьером Ферма и называли его «королем среди любителей». Главный интерес он проявлял к теории чисел, которая в начале 17 столетия стала очень популярной во Франции благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Изучая их, Ферма смог обосновать основные проблемы решения многочисленных задач, которые стали основными для развития классической теории чисел.
Больше всего влияния на Пьера Ферма оказала книга «Арифметика», изучая которую он исписывал поля собственными рассуждениями, впоследствии изменившими развитие математического мышления. В этой книге греческий математик и отец алгебры Диофант Александрийский описывал натуральные числа Пифагора. На основании «Арифметики» Ферма, решая задачи сложных уравнений с несколькими неизвестными, сформулировал легендарное утверждение, позже названное в его честь Великой теоремой Ферма. Доказательство теоремы заняло около 380 лет.
Наибольший научный вклад Ферма в развитие математики в том, что он обратил внимание на роль, которую занимают простые числа.
Великая теорема Ферма
Рассуждения Ферма о натуральных числах были не единственными, и даже не Пифагор первым их обосновал. История исчислений натуральных чисел была известна еще в Шумере и Древней Индии, но только Пифагор записал эти рассуждения в современной математической формуле: x2 + y2 = z2, а Ферма увеличил количество неизвестных: xn + yn = zn.
Особый интерес к натуральным числам возродился в начале 17 столетия, после издания «Арифметики» Диофанта. Эта книга стала особо популярной среди ученых и философов, которые пытались рационально объяснить мироустройство, исключая всякое божественное начало. Среди них был и Пьер Ферма.
Во время чтения «Арифметики» ему в голову пришла идея заменить показатель степени 2 в теореме Пифагора любым другим числом. Тогда он понял: решения такому суждению не существует, и это можно доказать. Но само доказательство не записал из-за отсутствия места в книжке. На страницах книги II, обдумывая задачу 8, Ферма записал только следующее:
«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Доказать выдвинутое утверждение Ферма, что нет простого решения для уравнения, например, 32+42=52, когда n˃2, являющегося целым числом, впоследствии смогли немногие. Сегодня известно, что Ферма доказал отсутствие решения для n = 4. А из его переписки известно, что он также осуществил и доказательство для n = 3, но найти его среди писем не удалось.
Рассуждение Ферма о простых числах стало широко известным после того, как в 1670 году его сын Самюэль опубликовал книгу «Арифметика», но уже с комментариями отца. Путь доказательства занял более чем 350 лет. Сотни математиков пытались доказать утверждение Ферма, а получилось это лишь у Эндрю Уайлса в 1993 году.
Знаменательно, что очевидной практической ценности Великая теория Ферма не имеет. Но ее формулировка будоражила умы сотен математиков, что, в свою очередь, действительно приносило плоды в развитии теории математики. Помимо легендарной Великой (или «Последней», как ее еще называют) теоремы Ферма, не менее важную роль в развитии математики занимает другая теорема – малая.
Малая теорема Ферма – это еще одно знаменитое рассуждение, которое Ферма описал в письме к своему другу в 1640 году. Читается эта теорема так: если целое число п не делится на простое число р, то пр — 1—1 делится на число р.
Доказательство этой теоремы не заняло столько времени и усилий, как в случае с ее предшественницей, но ее роль в развитии математического мышления несомненно бесценна. Сегодня она является одной из самых важных теорем элементарной теории чисел, криптографии и современной алгебры.
Великая теорема Ферма: доказательство
Великая теорема Ферма не была детально объяснена даже самым автором. Может быть, его бумаги затерялись, но, скорее всего, в этом он сам не видел необходимости.
Все дело в том, что скупое, на наш взгляд, объяснение утверждения на полях книжки «Арифметика» непонятно для нас, но так не будет казаться, если учесть контекст, в котором Ферма развивал свои идеи. На протяжении своей жизни он вел активную переписку с другими учеными и любителями математики, и это были долгие дискуссии в письменной форме, где очень важно было понимание логичности и чередования писем. Это было общество, члены которого понимали друг друга с полуслова. Поэтому в многословности в такой среде просто не было необходимости.
Другим предположением, почему Ферма не развил детальное объяснение своей теоремы, в том, что он не был профессиональным математиком, как, к примеру, Рене Декарт или Франсуа Виет, и тем более он не пытался достичь признания в этой сфере, помимо одобрения друзей и единомышленников, которое, очевидно, уже получил. Но, тем не менее, Ферма понимал оригинальность своих идеи и подходов, а также то, что его методы мышления помогают другим математикам.
Увлекаясь теорией простых чисел, Ферма понимал, что натуральные числа не являются бесконечными. Он полагал, что найденный им метод является общим, и его можно будет использовать, чтобы доказать любые теоремы натуральных чисел. Но реальность оказалась иной. Метод оказался не таким универсальным, как рассуждал Ферма. И на доказательство этого ученым понадобилось более трех столетий.
В начале 1990-х годов теорему Ферма уже доказали для показателей разных степеней вплоть до 4 000 000. Но все-таки ученые продолжали искать показатель, для которого теорема окажется ложной.
Математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс смог доказать теорему в 1993 году, исполнив свою мечту, которая появилась у него в 10-летнем возрасте. На протяжении долгих лет он следил за многочисленными методами, с помощью которых разные ученые пытались доказать теорему Ферма. И в 1986 году, оставив все свои проекты, он сам занялся доказательством этой теории, которое заняло 7 лет.
В своем доказательстве он использовал сложные методы вычисления. Его работа опиралась на труды гигантов из разных направлений математики. Теорема Ферма – это сложная головоломка, решить которую стало возможным, сочетая поэтапно разные подходы и методы доказательства. Исписывая тысячи страниц, Уайлс смог доказать Великую теорему Ферма.
Это был долгий путь, который заключался в подсчете бесконечностей, рассмотрении всех ранее использованных подходов с целью найти собственный метод доказательства. Сначала Уайлс подсчитал все эллиптические функции, а также модулярные эллиптические функции, где как одних, так и других бесконечно много, чтобы показать, что их вычисления эквивалентны. Хотя этот подход оказался неэффективным, он помог осознать, куда двигаться дальше. Эти вычисления помогли Уайлсу понять, что нужно вместо доказательства гипотезы Таниямы-Симуры для эллиптических кривых, доказать эту же гипотезу лишь для полустабильных кривых.
Далее он обратился к теории Галуа, и с ее помощью смог определить эллиптические уравнения и доказать, что можно провести ассоциацию с элементами модулярных форм. Так Уайлсу удалось переформулировать задачу в более податливые понятия. Но это был только первый шаг, который занял два года.
Позднее он пробовал решить теорему с помощью теории Ивасавы, но ее оказалось недостаточно, поэтому Уайлс использовал еще и инструменты системы Эйлера. Однако позже он понял, что самым подходящим подходом является подход Колывагина-Флаха. И здесь новая тактика начала приносить плоды.
В начале 1993 года Уайлс подключил к решению теоремы друга Ника Каца. Они решили, что в основании нового университетского курса «Вычисления на эллиптических кривых» они смогут поэтапно изложить теорему Ферма. Во время этого курса проверялись разные этапы доказательства.
Окончательные результаты и первое публичное доказательство Уайлс представил на конференции в Кембридже в июне 1993 года. Для этого эму понадобилось три часа. Рукопись занимала 200 страниц. Потом решение задачи подтвердил комитет экспертов, и, после уточнения нескольких неточностей, в 1995 году теорема Ферма официально была доказана.
Вклад Пьера Ферма в развитие науки
История математики просто немыслима без вклада ученого-самоучки Пьера Ферма. Но из-за уединенного образа жизни и узкого круга общения его идеи ученые смогли оценить лишь после его смерти и благодаря его сыну Сэмюелю, который в 1870 году начал публиковать наброски и размышления отца.
Ферма и его идеи во многом стали основополагающими для развития новых математических теорий. Его сильной стороной был творческий подход и неограниченность рамками одной дисциплины: Ферма применял алгебраические методы в геометрических задачах, что заложило основания аналитической геометрии. Поэтому справедливо считать, что Ферма, наравне с Декартом, повлиял на формирование аналитической геометрии, а также то, что в своей переписке с Паскалем он заложил основы теории вероятности.
Идеи и подходы Пьера Ферма были настолько неординарными, что его рассуждения и толкования решения задач повлияли на Ньютона и даже Галилея, а другой французский математик Марен Мерсенн в своей книге «Универсальная гармония» вообще назвал Ферма математическим гением.
Кстати, если вам интересно, как развить мышление, лучше понимать абстракции и удерживать в голове длинные формулы, замечать закономерности и создавать новые идеи, предлагаем вам попробовать наши программы «Мнемотехники» и «ТРИЗ на практике». И пусть напрямую с математикой они не связаны, зато представленная в них информация, упражнения и задания прекрасно подходят для повышения уровня интеллекта, а его, как вы знаете, можно использовать в любой области.
Желаем удачи и до встречи на уроках наших курсов!
