Куда бы человек ни поехал, его окружают математика и вещи, которые созданы с ее помощью. Это не просто одна из точных наук, которые изучают в школе и университете. Это способ понять мир вокруг нас и принципы когнитивистики, изменить собственный разум и настроиться на общую волну.
Наш разум – это генератор концепций, придумывающий планы и идеи с поразительной скоростью. По некоторым оценкам, в день в нашу голову приходит от 60 000 до 80 000 мыслей [SuccessConsciousness, 2024]. Даже наши сны – это истории, содержащие концептуальные планы и идеи, иногда воображаемые и фантастические.
Понимание обычно приходит позже, после некоторого размышления, анализа фактов или деталей данной ситуации или после какого-либо обучения или опыта. Обычно нам приходится использовать наши умственные способности, чтобы понять математическое уравнение или социальную проблему, но сила понимания также может быть мгновенной.
Что такое «математика»?
Человеческая жизнь выстраивается на нашей способности выживать и приспосабливаться к условиям окружающей среды. Эти характеристики гарантируют сохранение вида и будущих поколений.
Это объясняет, почему мы стремимся не только к выживанию самому по себе, но и к познанию того, что выходит за естественные пределы. Трансцендентности. А вдруг пригодится? Не нам, так потомкам.
Трансцендентность предполагает поиск механизмов, позволяющих понять и осмыслить часть того, что воспринимается и происходит вокруг нас, например:
- климатические явления;
- социальные проблемы;
- политические коллизии.
Если мы исследуем этимологию термина «математика», мы обнаружим, что он происходит от греческого mathema (μάθημα), что означает «знание».
Давным-давно, в Древней Греции, движение мыслителей под названием «пифагорейцы» сочло и назвало математику наукой. Это понятно, если учесть, что математика была для них наукой о числах и геометрических фигурах, рассматриваемых в свою очередь как сущность реальности.
Этот подход до сих пор применяется во многих общеобразовательных школах. В настоящее время классический способ изложения математики включает в себя констатацию аксиом, изучение свойств и количественных отношений между абстрактными сущностями (числами, геометрическими фигурами, символами) на основе логики.
Однако после эпохи Возрождения появилось несколько позиций относительно концепции математики и особенно «математических объектов», среди них можно упомянуть:
- реализм;
- концептуализм;
- номинализм;
- априоризм;
- эмпиризм;
- объективизм;
- экзистенциализм.
Если считать, что математическое мышление развивается по-разному, то мы признаем, что существуют различные математики, поэтому нет достаточных оснований полагать и продолжать думать, что существует только одна математика.
Рождение этноматематики
Т.к. мы сошлись на том, что математика – это знание, возникает гипотеза, что оно может быть разным в разных частях света. Потому что люди – они разные.
Современный научный подход предполагает, что математика, как и другие науки и сферы знания, привержена культурному разнообразию и социальному конструированию знаний, которые приходят из повседневной жизни и размышлений, основаны на возникающих потребностях и интересах.
Отсюда вытекает этноматематика. У ее истоков стоял бразильский педагог и доктор математики Убиратан Д’Амброзио. Начиная со второй половины 20 века его сторонники, соратники и последователи продвигают в мире идею о том, что в школах нужно изучать не только «древнегреческую математику», ту, к которой мы привыкли. Ведь есть и другие.
Этноматематика – это подход, который предлагает альтернативные подсказки для проведения математических исследований среди коренных общин, поскольку он связан с проблемами экологического характера и редко отделяется от культурных проявлений, таких как религия и искусство, поэтому он идеально описывает культурное разнообразие народов и тем самым предлагает нам более целостное видение явлений.
Этноматематический подход не ограничивается пониманием математических знаний и действий, но также стремится понять:
- цикл генерации;
- интеллектуальную организации;
- особенности распространения этих знаний.
С точки зрения Д'Амброзио, этноматематика – это не просто изучение математики различных этнических групп. «Я создал это слово для обозначения того, что существует несколько способов, техник, навыков объяснения, понимания, взаимодействия и проживания математики в различных природных и социально-экономических контекстах реальности (этносах)», – объясняет сам ученый в своей монографии [D‘Ambrosio, U. Society, Culture, Mathematics and its Teaching, 2005].
Поэтому, когда мы изучаем влияние математики на человека, на современный мир, никогда нельзя забывать, кто здесь первичен, кто кого создал.
Математика майя
Альтернативные древнегреческой математики не настолько продвинуты и не привели к появлению стиральных машин и ноутбуков. Однако всех их можно отнести к трансцендентальной математике, потому что они гарантируют обладателям этого знания не только собственное выживание, но и передачу накопленной мудрости следующим поколениям.
Рассмотрим ниже математику одного из народов, который жил на планете Земле одновременно с вышеупомянутыми пифагорейцами, т.е. около двух с половиной тысяч лет тому назад. И, что примечательно, успешно пережил древних греков и сохранил свой язык. Этот народ – майя. Проживает на территории современных Мексики, Никарагуа, Гватемалы и Гондураса.
В основе мысли майя лежат следующие принципы:
- взаимозависимость;
- дополняемость;
- двойственность;
- разнообразие;
- баланс;
- быстротечность.
Культура майя выделялась во многих областях, таких как медицина, инженерное дело и другие прикладные науки. Однако наивысшие достижения были достигнуты в области математики, которая у майя тесно граничила (и продолжает граничить) с астрономией. Человек в официальной должности Аджкийдж («Счетовод дней») до сих пор занимает вершину в социальной иерархии одной из народностей майя под названием сутухиль.
Математика майя является продуктом тысячелетних наблюдений. Она систематизировалась коллективно, поэтому у майя и не возникло никакого местного «Пифагора Самосского». Не существует записей «имен ученых майя» классического или постклассического периода, поскольку эти открытия отвечали коллективным потребностям сообщества.
Поэтому до сих пор никто не знает, кто у майя додумался до нуля как числа. Даже древние греки этого не смогли и вместе с древними римлянами оперировали понятием «ничего».
В основе своей математика майя основывалось на наблюдении за небесным сводом, за земными явлениями или Землей и постижении мира за ее пределами.
Мир майя состоял из трех наложенных друг на друга царств:
- Небесного свода, полного звезд.
- Каменного «промежуточного мира» Земли, где кровь королей способствовала процветанию и произрастанию плодов.
- Черных вод подземного мира.
В мысли майя все три измерения связаны друг с другом, наделены силами. Это их духовное понимание мира.
Функциональное построение знаний в организации сообщества, учитывающее контекст и мировоззрение, у народности сутухиль состоит из следующих этапов:
- Наблюдение.
- Консенсус.
- Прогноз.
- Подсчет. Влечет за собой другие действия, такие как дополнение, группировка и последовательное воспроизведение, когда ссылка дается на ситуацию или эпизод, который обычно представляет собой кардинальное число как представителя космоса.
- Измерение. Это обычная справочная практика, состоящая в оценке и вычислении количества с соответствующей единицей измерения, чтобы выяснить, сколько раз второе содержится в первом, и его связь с более высоким порядком.
- Объяснение.
- Сравнение.
- Классификация.
- Систематизация.
- Исправление. Это одна из наиболее важных практик присвоения культурных ценностей и знаний, которая заключается в контроле, проверке и исправлении прошлых и настоящих действий, чтобы гарантировать адекватное обучение [La Epistemología de la Matemática Maya. Domingo Yojcom Rocché, 2013].
Влияние математики на сознание майя настолько велико, что многие задачи решаются в уме, без применения калькулятора или мобильного телефона.
Философия переживания
Понимание влияния космоса и математики на восприятие майя невозможно без концепции, которую завоевавшие майя носители испанского языка обозначили как vivenciación [RAE, 2024]. По-русски этому приблизительно соответствует существительное «переживание». Это слово – ключ к духовному пониманию ценностей майя. А возможно, и не только майя.
В современном обществе подавляющее большинство людей живут, не задаваясь вопросом, что значит «жить». Они просто переживают приятные и неприятные эпизоды ради своих личных или коллективных целей.
Переживание – это практика, в которой скрыто личное или коллективное чувство, которое в нашем обычном языке принято путать с опытом.
Однако еще индийский мыслитель 20 века Джидду Кришнамурти настаивал, что опыт – это одно, а жизнь – другое.
Опыт уже запутался в паутине времени, он принадлежит прошлому, он стал воспоминанием, которое оживает только в ответ на настоящее.
Жизнь, с другой стороны, – это настоящее, а не опыт, однако вес и сила опыта часто скрывают настоящее.
Фундаментальное различие состоит в том, что опыт является формой прошлого, поскольку через него в разум доходят воспоминания, позволяющие «заново пережить» ушедший момент. Переживание же – это здесь и сейчас. Можно сказать, что оно происходит в конкретной ситуации, в конкретный момент, потому что оно синхронно, а также является частью конкретного контекста.
Переживание – практика идентичности, поскольку оно регулирует не только поведение людей, составляющих сообщество, но и порождает коллективную идентичность.
Переживание сочетает два типа опыта:
- Личный опыт. То, что является нашей жизнью.
- Коллективный опыт. Наше сосуществование.
Это помещает переживание в макрокатегорию практики идентичности, поскольку оно охватывает не только настоящее, но также прошлое и будущее наших чувств, действий и отношений с другими людьми.
Какое все это имеет отношение к математике? Прямое.
Когда мы применяем математические знания в конкретной ситуации, например, просим счет за выпитый в кафе кофе, с точки зрения майя, мы переживаем математику. Ведь мы:
- Оплачиваем счет.
- Ожидаем от официанта сдачу.
Для этого конкретного переживания математики необходимо задействовать опыт:
- Прошлых знаний, связанных с основными арифметическими действиями или межличностными отношениями.
- Манер.
- Обычаев.
По сути, весь багаж знаний, которым мы обладаем как личности, «демонстрируется» в этот момент математического переживания. Но готовы ли мы к нему или просто живем бесцельно?
Концепция математического переживания воплотилась у майя в самых различных сферах жизни, от архитектуры до сельского хозяйства. Однако наибольший восторг у европейцев вызывают красочные ткани майя, которые являют собой чистый результат математического переживания, по сути, материальное воплощение их мироздания.
Пример – изображение двуглавого орла. У европейцев тоже такой есть. Гербовая фигура в византийском стиле.
Однако двуглавый орел майя важен не достоверностью передачи силуэта птицы, а точным соотношением между основой и утком, которые придают форму и жизнь этому предмету искусства.
Ежедневная работа, которую выполняет ткачиха майя, полна смыслов. Ее социальные практики наблюдения, формализации, исправления и опыта выражают не только искусство, но и проявляют ее чувства, эмоции и познания, т.е. они отражают определенные числовые и пространственные понятия, связанные с мировоззрением майя.
Используя одни лишь евклидовы понятия о том, что такое математика, вряд ли можно глубоко понять содержание изображения, состоящего из линий и форм. На орла оно практически не похоже. На понимание уйдет время, потребуется минимальное знание математики майя и видение народа, выражавшего и выражающего свои знания в этих тканях.
Например, «ромб» обычно обозначает четыре квадранта вселенной или четыре угла земли [La Epistemología de la Matemática Maya. Domingo Yojcom Rocché, 2013].
Хотя математика майя создавалась тысячелетия назад в условиях цивилизации, которой больше нет, она смогла ее пережить и в наши дни помогает создавать предметы искусства, труда и быта, которые помогают майя продолжать считать себя майя.
Европейская математика
Для сравнения, доминирующая в мире математика, которая строится на евклидовых принципах, другая. Это умственная деятельность, независимая от опыта.
Математик работает на основе определений и аксиом и приходит к истинам.
Ученый может взаимодействовать с физическим миром посредством знаний, которые мы накапливаем посредством математической деятельности. Такое взаимодействие математического знания с другими реальностями, которое считается процессом математизации, может осуществляться посредством следующих связей:
- Адаптации. Математические знания, которыми обладает человек, применяются к изучаемой реальности или способствуют ее развитию.
- Моделирования. Математика изучает реальность, создавая модели на основе имеющихся математических знаний.
- Восстановления. Математические знания распознаются в поведении и строении реальных объектов.
Во многих случаях процесс математизации может осуществляться более чем через одну «связку», причем иногда очень трудно отличить, какая «связка» принадлежит какой части процесса. Это связано как с эволюцией самой математики, так и с эволюцией науки, которая вмешивается во взаимодействие с изучаемой реальностью. Например, иногда моделирование определенной реальности приводит к появлению новых областей математических исследований.
Цель математической модели – объяснить поведение этой физической реальности или успешно предсказать ситуации, которые еще не наблюдались. Функционирование ионных каналов, активирующих нейроны, было предсказано Ходжкиным и Хаксли с помощью математической модели, состоящей из системы четырех нелинейных дифференциальных уравнений, причем структура этих каналов еще не была известна и их нельзя было наблюдать напрямую.
Трудность создания математических моделей заключается в невозможности непосредственного наблюдения внутренних переменных живых клеток. Возможно, это решаемо. Около десятилетия назад математик Иван Тюкин из Университета Лестера в Великобритании, опираясь на квантовую физику и регистрируя электрическую активность этих клеток, создал метод, позволяющий реконструировать скрытые переменные. Этот новый метод создает математические модели, описывающие поведение нервных клеток мозга. «Связывание» посредством восстановления можно наблюдать на примере шишки лиственницы или цветка георгина. Составляющие их лепестки закручены в определенной последовательности, которая кажется человеческому мозгу красивой и гармоничной. Сегодня мы называем ее последовательностью Фибоначчи в честь средневекового математика Леонардо Пизанского. Однако она была известна и в Древней Индии, и тому же Евклиду, который делил отрезок AB так, что AC + CB = AB и AC > CB. Он называл пропорцию AB/AC = AC/CB «отношением среднего и крайнего».
После этих простых примеров о математизации Вселенной на ум приходят определенные вопросы о духовном понимании:
- Возможно ли, что структура нашего мозга уже обладает знаниями и определенной конфигурацией взаимодействия с окружающей средой, которая позволяет нам понимать мир именно так, а не иначе?
- Почему мы считаем одни формы красивыми, а другие нет?
- Почему реальность вызывает одно и то же удовольствие или неудовольствие у разных людей?
- Почему люди, находящиеся так далеко друг от друга и никогда не имевшие культурных контактов, пришли к одним и тем же выводам? Необходимо ли, с точки зрения нашего способа познания, пройти определенные процессы для разработки определенных концепций?
- Возможно ли, что точно так же, как происходит генетическая передача некоторых знаний, происходит генетическая передача навыков, способностей и структур, которые человеческий мозг развил в ходе различных процессов обучения?
- Можем ли мы тогда сказать, что существует генетическая передача «возможностей улучшения»? В этом случае интеллектуальное усилие, которое мозг генерирует в процессе усвоения, важнее результата обучения. И если да, то какие интеллектуальные усилия следует стимулировать, чтобы вызвать процессы, способствующие развитию мозга?
- Какие усилия можно считать лучшими и какие, по сути, необходимы человеческому мозгу для сохранения своих интеллектуальных способностей?
Тайны человеческого мозга и разума изучает междисциплинарная наука когнитивистика. Приглашаем интересующихся на нашу программу «Когнитивистика. Развитие мышления».
Математика и мозг
Чтобы дать ответы на вышеупомянутые вопросы, нужно понять, как мозг и математика взаимосвязаны. В начале мы упоминали, что математика – это знание, которое создал, т.е. аккумулировал, человек. Однако, при всем при этом, отличные от людей живые существа складывают собственные лепестки в определенной последовательности, которая никак от людей не зависит.
Тысячелетиями человечество пытается понять, каково влияние математики на человека, на понимание реального мира, на музыку. Когда композитор создает симфонию, он себя слушает или уравнение в мозгу решает?
Настоящим прорывом в этой сфере стала наука нейробиология, которая позволила увидеть, как мозг «думает» и «принимает решения».
Согласно теории мозговой локализации, математическая деятельность происходит в большей степени в лобных и теменных долях мозга.
В теменной доле большее потребление энергии регистрируется при математической активности в области, называемой внутритеменной бороздой, и в нижней области. Возможно, нижняя теменная область контролирует математическое мышление и зрительно-пространственные когнитивные способности.
В настоящее время считается, что сложные задачи математической обработки возникают вследствие одновременного взаимодействия нескольких долей мозга.
Простое решение задачи, связанной с арифметической операцией, требует следующих рассуждений:
- вербальных;
- пространственных;
- концептуальных;
- арифметических и т.д.
Узнаем ли мы, как адекватно стимулировать процесс, который возникает в мозгу, для изучения математики?
Если бы мы могли сфотографировать одну и ту же математическую идею, возникшую в мозгу нескольких людей в результате какого-то процесса, и вернуться туда, где она возникла, нарисовав путь, по которому она прошла, получили бы мы тот же рисунок и графически прошли бы через те же области мозга?
Как считает профессор дидактики математики из мадридского Университета Комплутенсе Хосе Антонио Фернандес Браво, это сложные темы, которые потребуют многих лет исследований [Neurociencias y Enseñanza de la Matemática, 2010].
Поэтому если вы считаете, что в математике уже все изучено, доказано и подсчитано, пора учиться думать по-новому. Это не только образовательная и профессиональная перспектива, но и повод взглянуть на самих себя с другой стороны. Кто знает, возможно, именно математика станет ключом в новый мир на очередном повороте вашей жизни. Быть готовыми к этому вас научат на нашей программе «Самооценка 360».
Влияние математики на человека не ограничивается его работой или университетской кафедрой. Покинув школу, те же гуманитарии надеются, что больше никогда в жизни им не придется высчитывать пропорции или проценты. А выходит иначе.
Математика – это не что-то искусственное, что люди создали, чтобы им пользоваться. Скорее, это искусство распознавать реальность вокруг нас и видеть в ней красоту, вдохновение и смысл.
Успехов вам в этом! А для закрепления материала статьи пройдите небольшой тест:
